Một số luật phân phối xác suất rời rạc

Quy luật nhị thức B(n, p)

a) Bài toán:

Từ tập hợp gồm N phần tử trong đó có M phần tử có tính chất B nào đó, còn N-M phần tử không có tính chất B, ta lấy ngẫu nhiên có hoàn lại n phần tử. Nếu lấy theo phương thức này thì n phép thử nói trên sẽ độc lập với nhau vì việc lấy được phần tử có tính chất B, hay không có tính chất B trong mỗi lần lấy không ảnh hưởng đến khả năng lấy được phần tử có tính chất B hay không có tính chất B ở các lần lấy khác. Trong mỗi lần lấy chỉ có 2 trường hợp đối lập xảy ra. Hoặc biến cố A xảy ra (lấy được phấn tử có tính chất B) hoặc biến cố A không xảy ra (lấy được phần tử không có tính chất B).

Xác suất cho biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng p = \dfrac{M}{N} xác suất cho biến cố A không xảy ra cũng đều bằng\dfrac{N-M}{N} = 1 - p

Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong n phép thử, thì X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị có thể có 0, 1, 2, …, n. Như đã chứng minh ở chương II, xác suất để X nhận các giá trị tương ứng được tính bằng công thức Bernoulli:

P_x = P(X = x) = C_{n}^{x}{p^x}{(1-p)^{n-x}} (x = 0, 1, 2, ..., n) (1)

b) Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có (x = 0, 1, …, n;) với các xác suất tương ứng được tính theo công thức (1) gọi là phân phối theo quy luật nhị thức với các tham số là n và p. Quy luật nhị thức được ký hiệu là B(n, p)

Nói cách khác, phân phối nhị thức gắn liền với việc lặp lại n lần một phép thử có hai sự kiện đối lập (thành công và thất bại; xảy ra và không xảy ra) với X là số lần thành công. Việc lặp lại ở đây có nghĩa là dãy phép thử được tiến hành trong cùng điều kiện và độc lập với nhau.

Như vậy bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật nhị thức có dạng:

\begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & { \dots} & n \\ \hline P_x & {C_{n}^{0}{p^0}{q^n}} & {C_{n}^{1}{p^1}{q^{n-1}}} & {C_{n}^{2}{p^2}{q^{n-2}}} & {C_{n}^{3}{p^3}{q^{n-3}}} & { \dots} & {C_{n}^{n}{p^n}{q^{0}}} \\ \end{array}

Trong thực tế, nhiều khi ta cần tính xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật nhị thức (ký hiệu là X ~ B(n, p)) nhận giá trị trong khoảng [x, x + h] (với h nguyên dương và h ≤ n – x). Khi đó ta có thể tính xác suất này theo công thức:

P(x \le X \le x + h) = P_x + P_{x+1} + ... + P_{x+h} (2)

Trong đó: P_x, P_{x+1},  P_{x+h} được tính theo công thức (1).

Thật vậy biến cố (x ≤ X ≤ x + h) có thể tách thành tổng của h +1 biến cố xung khắc từng đôi là (X = x), (X = x +1), …, (X = x + h); do đó áp dụng định lý cộng xác suất với các biến cố đó ta có:

P(x \le X \le x + h) \\ = P(X = x) + P(X = x +1) + ... + P(X = x + h) \\ = P_{x} + P_{x+1} + ... + P_{x+h} (3)

Thí dụ 1:Gieo 4 hạt đậu, xác suất để 1 hạt cho cây ra hoa vàng là 0.75, ra hoa trắng là 0.25. Số cây đậu ra hoa vàng X có phân phối nhị thức B(4;0.75)

Ta có:

\begin{array}{c | c c c c c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P & {0.25^4} & {4.0.75.0.25^3} & 6.{0.75}^2{0.25}^2 & {4.(0.75)^{3}.0.25} & {0.75^4} \\ \end{array}

Thí dụ 2: Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập, xác suất để trong một ngày mỗi máy bị hỏng đều bằng 0,1. Tìm xác suất để:

a) Trong một ngày có 2 máy hỏng.

b) Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng.

Giải:

Nếu coi sự hoạt động của mỗi máy là một phép thử, ta có 5 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có 2 trường hợp: hoặc máy hỏng hoặc không. Xác suất hỏng của mỗi máy đều bằng 0,1. Gọi X là số máy hỏng trong một ngày thì X phân phối theo quy luật nhị thức với các tham số n = 5, p = 0,1 (tức là X ~ B(5; 0,1)).

Do đó xác suất để trong một ngày có 2 máy hỏng là xác suất để X = 2. Theo công thức (3.2) ta có:

P(X = 2) = C_{5}^2(0,1)^2(0,9)^3 = 0,0729

Xác suất để trong ngày có không quá 2 máy hỏng là xác suất để X nhận giá trị trong khoảng [0, 2]. Theo công thức (3.3) ta có:

P(0 \le X \le 2) = P_{0} + P_{1} + P_{2}

P_0 =  C_5^0.(0,1)^0(0,9)^5 = 0,59049

P_1 = C_5^1(0,1)^1(0,9)^4 = 0,32805

Vậy: P(0 ≤ X ≤ 2) = 0,59049 + 0,32805 + 0,0729 = 0,99144

Thí dụ 3: Một học sinh làm bài trắc nghiệm có 100 câu, mỗi câu gồm có 4 phương án lựa chọn, trong đó có 1 phương án trả lời đúng. Với một câu, nếu học sinh đó trả lời đúng thì được 1 điểm, ngược lại, sẽ không có điểm. Do học sinh đó lười học nên không nắm được bài, đã làm bài bằng cách chọn đại 1 phương án trả lời. Tìm xác suất để học sinh đó đạt được kết quả (đạt 50 điểm trở lên)

Học sinh thực hiện bài trắc nghiệm trên chính là đã thực hiện 100 phép thử Bernoulli, với xác suất thành công là 0.25. Gọi X là số điểm của học sinh đó thì X ~ B(100;0.25)

Tuy nhiên, ở đây ta không thể làm như ví dụ 2, vì xác suất của biến cố học sinh đạt kết quả tương đương với xác suất P( X ≥ 50). Vì việc liệt kê và tính từng trường hợp X = 50, 51, 52, …, 100 tốn rất nhiều thời gian.

Trong thực tế khi số phép thử n khá lớn, việc sử dụng các công thức (2) và (3) gặp nhiều khó khăn. Trong trường hợp này, người ta thường sử dụng các công thức gần đúng để tính toán.

Khi n khá lớn, xác suất p không quá gần 0 và không quá gần 1, ta có thể áp dụng công thức tích phân Laplace xấp xỉ như sau:

P_x = C_n^x.p^xq^{n-x} \approx { \dfrac{1}{\sqrt{npq}}} f({ \dfrac{x-np}{\sqrt{npq}}}) (4)

trong đó f(u) = { \dfrac{1}{\sqrt{2.{\pi}}}} e^{-{ \dfrac{u^2}{2}}} gọi là hàm Gauss

Nhận xét:

1. Để tính giá trị của các hàm f(u), chúng ta có thể tra các giá trị hàm Laplace được tính sẵn ở các bảng phụ lục (thông thường các sách XSTK đều có bảng phụ lục này).

2. Dễ dàng nhận thấy hàm f(u) là hàm chẵn, do đó f(-u) = f(u), nên thông thường các bảng phụ lục chỉ ghi các giá trị ứng với u ≥ 0.

3. Hầu hết các bảng phụ lục chỉ tính f(u) với u ≤ 5. Với u > 5 thì hàm f(u) giảm rất chậm và nhận giá trị gần bằng 0. Do vậy ta có thể lấy f(u) = 0 (với mọi u > 5).

3. Từ công thức trên ta cũng có công thức xấp xỉ:

P(a \le X \le b) = P(X=b) - P(X = a) \\ \approx {\phi}({ \dfrac{b - np}{\sqrt{npq}}}) - {\phi}({ \dfrac{a - np}{\sqrt{npq}}})

trong đó {\phi}(x) = { \dfrac{1}{\sqrt{2.{\pi}}}} \int_0^x e^{-{ \dfrac{u^2}{2}}} \, du (hàm Laplace). Hàm Laplace là hàm lẻ, với x > 5, hàm Laplace tăng rất chậm và nhận giá trị xấp xỉ bằng 0.5.

Quay lại ví dụ 3 ở trên, ta sẽ áp dụng công thức tích phân Lapplace để tính xác suất học sinh đó đạt yêu cầu. Rõ ràng:

P(X \ge 50) = P(50 \le X \le 100) \\ \approx {\phi} ( { \dfrac{100 - 100.(0.25)}{\sqrt{100.(0.25).(0.75)}}}) - {\phi} ( { \dfrac{50 - 100.(0.25)}{\sqrt{18.75}}})

Hay: P(X \ge 50) \approx {\phi}(17.32) - {\phi}(5.77) \approx 0.5 - 0.5 \approx 0

Khi xác suất p ≈ 0 (rất bé) ta sử dụng định lý sau:

Định lý Poisson:

Cho X ~ B(n;p).

Khi n \to + \infty , p \to 0 , np = \lambda (const)

Thì  \lim_{n \to +{\infty}} P_n(k) = { \dfrac{e^{- {\lambda}}{\lambda}^k}{k!}}

Nghĩa là: khi n khá lớn và p khá nhỏ, n.p = const thì:

P_{n}(k) \approx  { \dfrac{e^{-{ \lambda}}.{ \lambda}^k}{k!}}

Ví dụ: Xác suất gặp một thứ phẩm trong một lô hàng áo sơ mi cao cấp là 0,003. Tìm xác suất để gặp 8 thứ phẩm trong 1000 sản phẩm đó.

Giải: Do n = 1000 , p = 0,003 ≈ 0 → λ = np = 3

Gọi X là số thứ phẩm trong 1000 sản phẩm thì X ~ B(1000;0,003). Tuy nhiên do n lớn và p khá nhỏ nên ta áp dụng công thức tính xấp xỉ Poisson.

Ta có: P[X=8] \approx { \dfrac{e^{-3}.3^8}{8!}} \approx 0,0081

Các ví dụ tương tự:

1. Một cuốn sách có 500 trang, mỗi trang có hơn 300 chữ. Biết cuốn sách đó có 300 chữ in sai. Mở ngẫu nhiên 1 trang. Tìm xác suất để trang đó có 3 chữ in sai. Đ/s: 0.0198

2. Trong 1 đợt xổ số, người ta phát hành 100.000 vé, trong đó có 10.000 vé trúng giải. Nếu 1 người mua 10 vé thì xác suất trúng ít nhất 1 vé là bao nhiêu? Đ/s: 0,76

3.Một trạm cho thuê xe du lịch có 3 chiếc xe. Hàng ngày, trạm phải nộp tiền trả góp 500.000đ cho 1 chiếc xe (bất kể xe đó có được thuê hay không). Mỗi chiếc được cho thuê với giá 1.500.000 đ /ngày.

Giả sử số xe được yêu cầu cho thuê của trạm trong 1 ngày là đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức B(3;0.8).

a.Tính số tiền trung bình trạm thu được trong 1 ngày.

b. Giải bài toán trên trong trường hợp trạm có 4 chiếc xe. Theo bạn, trạm nên có 3 hay 4 chiếc xe?

4. Xác suất để gặp 1 laptop bị lỗi là 0,005. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 1000 laptop ta gặp:

a. 10 máy bị lỗi. Đ/s: 0.018

b. Có không quá 5 máy bị lỗi Đ/s:0.61596

5. Trong một đợt thi nâng bậc thợ của ngành dệt, mỗi công nhân dự thi sẽ chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 máy và với máy đã chọn dệt 100 sản phẩm.

Nếu trong 100 sản phẩm sản xuất ra có từ 75 sản phẩm loại 1 trở lên thì được nâng bậc.

Giả sử đối với công nhân A, xác suất để sản xuất được sản phẩm loại 1 đối với 2 máy lần lượt là 0.7 và 0.8.

Tính xác suất để công nhân được nâng bậc thợ. Đ/s: 0.5161

4 Responses

  1. Giúp em:
    Cho X ~ B(n,po) và tập giá trị của X là { k thuộc N/ 0<=k<=n} . Chứng minh : EX= n . po

  2. Cho biết tỉ lệ các mẫu vật liệu may co ít nhất 1 lỗi là 90%.
    Đặt X= số lỗi có ở một mẫu vật liệu may được quan sát ngẫu nhiên. Biết rằng X~P(u). Tìm u

  3. ko ai giải sao em đang cần

  4. mọi người ra trường hết rồi em ơi😀

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: